Transformasi Linear

Tranformasi linear adalah dasar dalam materi aljabar yang berbentuk fungsi. Transformasi linear yang dimaksud adalah perpindahan dari satu ruang yang biasanya dinamakan dengan domain atau daerah asal ke ruang lain yang dinamakan kodomain atau daerah hasil.

Jika F : V à W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W , maka F dinamakan transformasi linear jika :

      F(u+v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di V

Jika F : V à W adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v1, v2 di V dan sebarang skalar k1, k2 diperoleh :

F(k1 v1 + k2 v2 ) = F(k1) + F(k2 v2 )

                          = k1(k1) + k2 F(v2 )

Demikian juga jika k1,v2 ,...,vn ∈ V dan k1,k2 ,...,kn ∈ ℜ

F(k1+ ...+ knvn) = k1(v1k1+ ... + kn F(vn)

Beberapa istilah dalam  transformasi linear

Diketahui  ruang vektor  V, W

-          Transformasi linear yang bekerja pada ruang vektor yang sama ,  T : V à V disebut  operator linear.

-          Transformasi linear  T : V  à W dengan   dengan T( u ) =  0  disebut transformai nol.

-          Transformasi linear  T : V  à W dengan   dengan T( u ) = A u   disebut transformasi  matriks  sedangkan  A disebut  matriks transformasi.

Suatu transformasi linear ditentukan secara lengkap oleh nilainya pada suatu basis.

Contoh:

Tunjukkan bahwa T : R2 ® R3 yang didefinisikan oleh T(x) = 2x adalah transformasi

linear.

Penyelesaian

Diambil sebarang x, y Î R, maka:

T(x + y) = 2(x + y)                        [rumus fungsi]   

               = 2x + 2y                         [sifat aritmatika real]

= T(x) + T(y)                    [rumus fungsi]

dan juga

T(kx)      = 2(kx)                                [rumus fungsi]

               = k(2x)                                 [sifat aritmatika real]

               = kT(x)                                  [rumus fungsi]

untuk k Î R. Disimpulkan bahwa T adalah transformasi linear.