Nilai Dan Vektor Eigen

Nilai Eigen ( $\lambda$ ) adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen (

x

) adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri. Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa bilangan kompleks.Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen. Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang Matematika murni dan Matematika terapan seperti transformasi linear.

Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebut. Ruang Eigen dari

\lambda

merupakan kumpulan vektor Eigen yang berpasangan dengan

\lambda

yang digabungkan dengan vektor nol. Istilah Eigen seringkali diganti dengan istilah karakteristik, di mana kata ‘’’Eigen’’’ yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti ‘’asli’’ dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.

Persamaan dan Polinomial Karakteristik

Persamaan karakteristik dari matriks A adalah persamaan dengan variabel λ yang digunakan untuk perhitungan nilai dan vektor Eigen. Polinomial karakteristik (

f(\lambda )

) adalah fungsi dengan variabel

\lambda

yang membentuk persamaan karakteristik. Persamaan karakteristik bisa diperoleh lewat cara berikut.

Ax=\lambda x

Ax-\lambda x=0

Diketahui sifat identitas matriks di mana

vI=v

, maka

(A-\lambda )x=0

(A-\lambda I)x=0

Sehingga diperoleh persamaan karakteristik

det(A-\lambda I)=0

Ket:

A

= matriks n x n,

\lambda

= nilai Eigen (bernilai skalar),

I

= matriks identitas, dan

x

= vektor Eigen (vektor kolom n x 1)

Syarat-syarat

Nilai dan vektor Eigen sendiri memiliki beberapa syarat yang harus dipenuhi, yaitu:

$(A-\lambda I)$ tidak memiliki invers atau $det(A-\lambda I)=0$
$x\neq 0$

Bukti

x=Ix

Asumsikan bahwa A memiliki invers, maka berlaku

v

⁻¹

v=I

x=((A-\lambda I)

^-1

(A-\lambda I))x

x=(A-\lambda I)

^-1

((A-\lambda I)x)

x=(A-\lambda I)

^-1

0

x=0

Dari perhitungan di atas, diperoleh

x=0

yang bertentangan dengan salah satu syarat. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kedua syarat saling mempengaruhi dan tidak boleh dilanggar.

Perhitungan Nilai dan Vektor Eigen

Perhitungan nilai dan vektor Eigen tetap mengguankan perhitungan matriks dasar, yaitu penjumlahan matriks dan perkalian matriks. Perhitungan dimulai dengan mencari nilai Eigen, kemudian dengan nilai Eigen diperoleh (dapat berjumlah lebih dari 1 nilai) akan dihitung vektor Eigen untuk masing - masing nilai yang memenuhi persamaan.

Contoh

Misalkan diketahui suatu matriks A berukuran 3 x 3 dengan nilai seperti di bawah ini.

A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}

Untuk mencari nilai Eigen akan digunakan polinomial karakteristik dan persamaan karakteristik dari matriks A.^[1]^[2] Pertama - tama akan dihitung polinomial karakteristik dari matriks A:

f(\lambda )=det(A-\lambda I)

f(\lambda )=det\left({\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}-\lambda \cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\right)=det{\begin{pmatrix}-\lambda &1&0\\0&-\lambda &1\\4&-17&8-\lambda \\\end{pmatrix}}

f(\lambda )=-\lambda \cdot {\begin{bmatrix}-\lambda &1\\-17&8-\lambda \\\end{bmatrix}}-1\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\4&8-\lambda \\\end{bmatrix}}+0\cdot {\begin{bmatrix}0&-\lambda \\4&-17\\\end{bmatrix}}

f(\lambda )=-\lambda (-\lambda (8-\lambda )-1(-17))-(0(8-\lambda )-4(1))=-\lambda (-8\lambda +\lambda ^{2}+17)-(-4)=8\lambda ^{2}-\lambda ^{3}-17\lambda +4

Kemudian nilai Eigen dapat dihitung lewat persamaan karakteristik:

f(\lambda )=0

-\lambda ^{3}+8\lambda ^{2}-17\lambda +4=0

\lambda ^{3}-8\lambda ^{2}+17\lambda -4=0

(Persamaan karakteristik dapat difaktorkan menggunakan teorema sisa atau teknik pemfaktoran polinomial lainnya)

(\lambda -4)(\lambda ^{2}-4\lambda +1)=0

\lambda _{1}=4,\lambda _{2}=2+{\sqrt {3}},\lambda _{3}=2-{\sqrt {3}}

Dengan melakukan substitusi nilai Eigen ke dalam persamaan

(A-\lambda I)x=0

, maka akan diperoleh suatu persamaan baru. ^[2]

(A-\lambda _{1}I)x=0

\left({\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}-4&1&0\\0&-4&1\\4&-17&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}

Vektor Eigen untuk masing - masing nilai Eigen kemudian dapat ditentukan dengan melakukan operasi baris elementer atau teknik eliminasi sistem persamaan linear lainnya.^[2] Sehingga akan diperoleh vektor Eigen untuk

\lambda =4

adalah

{\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}0,0625\\0,25\\1\\\end{pmatrix}}

Solusi Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linier adalah salah satu persoalan bidang matematika yang banyak digunakan. Salah satu penyelesaian persamaan linier ini dengan menggunakan metode Operasi Baris Elementer (OBE) yang artinya membuat persamaan - persamaan awal pada sistem persamaan menjadi matriks lalu merubahnya menjadi matriks tereduksi. Terkadang dengan menggunakan cara penyelesaian OBE ini sangatlah panjang dan tidak efisien. Oleh karena itu, menyelesaikan persoalan masalah ini secara cepat, efektif dan efisien sangat dibutuhkan. Ada banyak macam cara dalam menyelesaikan masalah ini, yaitu dengan : Aturan Cramer Metode Invers Matriks Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Eliminasi Gauss Jordan Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi Gauss, yang di

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS

Search This Blog