Sistem Persamaan Linier

Pada bagian ini akan dijelaskan tentang sistem persamaan linear (SPL) dan cara menentukan solusinya.  SPL banyak digunakan untuk memodelkan beberapa masalah real, misalnya: masalah rangkaian listrik, jaringan komputer, model ekonomi, dan lain-lain.

Secara intuitif, persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.),  perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Jadi, sistem persamaan linear merupakan sekumpulan pesamaan linear yang memuat sejumlah hingga peubah bebas yang saling terkait. Bentuk umum sistem persamaan linear :

Sistem persamaan linear di atas dapat ditulis dengan perkalian matriks, yaitu :

Contoh :
Tuliskan sistem persamaan linear berikut dalam bentuk perkalian matriks

Solusi Sistem Persamaan Linear
Misalkan,

disubstitusikan pada sistem persamaan linear diatas, sehingga

dan sistem persamaan linear tersebut bernilai benar, maka S dinamakan solusi bagi sistem persamaan linear tersebut. Suatu sistem persamaan linear belum tentu punya solusi, keberadaan solusi ini sangat tergantung dari sistem persamaan linear itu sendiri.

Contoh :

Perhatikan sistem persamaan berikut :

Misalkan kita mempunyai himpunan S = { 2, 1 } maka S merupakan solusi sistem persaman linear tersebut. Sementara itu, himpunan T = { 1, 2 } bukan solusi dari SPL tersebut karena tidak memenuhi SPL tersebut.

Suatu sistem persamaan linear (SPL), dalam keterkaitanya dengan solusi, mempunyai tiga kemungkinan, yaitu :

a. SPL mempunyai solusi tunggal

b. SPL mempunyai solusi tak hingga banyak

c. SPL tidak mempunyai solusi

Jika suatu SPL memiliki solusi (tunggal atau tak hinggabanyak) maka SPL tersebut dinamakan SPL konsisten. Sementara itu, SPL yang tidak mempunyai solusi dinamakan SPL yang tak konsisten. Untuk menentukan solusi suatu SPL dapat digunakan operasi baris elemeneter (OBE), aturan Cramer, dan menggunakan matriks invers. Berikut ini akan dijelaskan lebih detil tentang metode beserta kelebihan dan kekurangannya dari setiap metode dalam menentukan (memeriksa) solusi suatu SPL.

Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE

Menentukan solusi persamaan linear dapat dilakukan dengan menggunakan operasi baris elementer (OBE). Langkah yang pertama adalah tulis kembali sistem persamaan linear dalam bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix).

Misalkan, SPL :

dapat ditulis dalam bentuk matriks yang diperbesar

Selanjutnya dilakukan OBE pada matriks tersebut untuk menentukan solusinya.

Contoh :

Tentukan solusi dari SPL

Jawab :

Bentuk matriks yang diperbesar dari SPL tersebut adalah

Selanjutnya matriks yang diperbesar dikenakan OBE :

Tulis dalam bentuk perkalian matrik :

Jadi, solusi SPL tersebut adalah x = 2 dan y = 1

Secara intuitif, kita dapat menentukan apakah suatu SPL mempunyai solusi atau tidak. Setelah dilakukan OBE pada matriks yang diperbesar, perhatikan pada matriks koefisien (bagian kiri), apakah matriks koefisien hasil OBE memiliki baris nol? Jika ya, dan ternyata matriks konstanta (bagian kanan) pada matriks yang diperbesar adalah bilangan tak nol maka SPL tersebut tidak mempunyai solusi. Sementara itu, jika kasus yang terjadi adalah sebagai berikut :

a. tidak ada baris nol pada matriks koefisien hasil OBE

b. ada baris nol pada matriks koefisien hasil OBE dan matriks onstanta pada baris tersebut adalah nol.

Jika kedua hal tersebut terjadi, maka SPL tersebut mempunyai solusi. Sedangkan untuk memeriksa apakah solusinya tunggal atau tak hingga banyak, periksa apakah setiap kolom mempunyai satu utama? Jika ya, solusi SPL tersebut adlah tak hingga banyak. Sebaliknya, jika ada kolom yang tak mempunyai satu utama maka solusi SPL tersebut mempunyai solusi tunggal. Perhatikan beberapa contoh penentuan solusi SPL dengan mengguanakan OBE dibawah ini. 

Contoh : 

Tentukan solusi (jika ada) dari SPL berikut :

Jawab :

a. Matriks yang diperbesar dari SPL tersebut adalah

Terlihat bahwa tidak ada baris nol pada matriks koefisien dan setiap kolom matiks koefisien hasil OBE memiliki satu utama, jadi SPL tersebut memiliki solusi tunggal, yaitu : a = 1, b = 2, dan c =3.

b. Matriks yang diperbesar dari SPL tersebut adalah

Terlihat bahwa ada baris nol pada matriks koefisien dan matriks konstanta pada baris ke-3 juga nol. Ini berarti SPL tersebit mempunyai solusi, tetapi ternyata ada kolom yang tidak mempunyai satu utama (kolom ke-3). Dengan demikian, solusi SPL tersebut memiliki solusi tak hingga banyak. Jika dikembalikan kedalam bentuk perkalian matriks diperoleh :

Ini memberikan a + c = 1 dan b + c =5.

Dengan memilih c = t, dimana t adalah parameter.

Maka solusi SPL tersebut adalah :

c. Matriks yang diperbesar dari SPL tersebut adalah

Terlihat bahwa ada baris nol pada matriks koefisien tetapi matriks konstanta pada baris ke-3 sama dengan 1 (tak nol). Jika dikembalikan kedalam bentuk perkalian matriks diperoleh :

Dari baris ke-3 diperoleh hubungan bahwa 0.a + 0.b = 1. Tak ada nilai a dan b yang memenuhi kesamaan ini. Jadi, SPL tersebut tidak memiliki solusi.